Cette rue est ouverte en 1970 dans la ville de Sherbrooke et en 1971 dans le canton d’Ascot et ce, de l’ancienne rue Ledoux (de Courville depuis 1999) à la hauteur de la rue Trépanier. La rue est prolongée en 1974 jusqu’à la rue Bacon dans le canton d’Ascot. En 1999, la municipalité d’Ascot change le nom pour rue des Grands-Monts, évoquant la présence d’un relief accidenté avec monticules rocheux dans ce secteur. Le toponyme est officialisé par la Commission de toponymie du Québec dans Ascot en juin 1999, et dans la ville de Sherbrooke en novembre 2000. Le souvenir de Mgr Goyette est cependant rappelé depuis le milieu des années 1960 par le nom d’un parc, le parc Arsène-Goyette sur la rue Darche.
Esdras-Arsène Goyette est né en 1881, à Iberville. Il est le fils de Philomène Dionne (1842-1918), couturière, et de Jean-Baptiste Goyette (1844-1932), navigateur fluvial. Arsène termine son cours commercial au collège des Frères Maristes à Iberville en 1896. Il complète ensuite son cours classique au Séminaire de Saint-Hyacinthe en 1904. Il entre alors au Grand Séminaire de Montréal pour ses études théologiques, études qu’il termine au Séminaire Saint-Charles-Borromée (Séminaire de Sherbrooke depuis 1959) en 1908. Il est alors ordonné prêtre par Mgr Paul LaRocque. De 1908 à 1913, il est vicaire de la paroisse de Saint-Jean-Baptiste, à Sherbrooke. Il est ensuite curé de quatre paroisses : Saint-Jacques-le-Majeur à Saint-Jacques-le-Majeur-de-Wolfestown (1913-1918), Saint-Julien, comté de Wolfe (1918-1923), Saint-Roch à Rock Forest (1923-1935) et Immaculée-Conception-dela-Très-Sainte-Vierge-Marie à Sherbrooke (1935-1952). Il devient chanoine de la cathédrale Saint-Michel en 1937, prélat domestique en 1945 et vicaire urbain du diocèse de Sherbrooke en 1946. En 1952, il prend sa retraite à Iberville. Au cours de sa carrière, il signe nombre d’articles dans le Messager Saint-Michel du diocèse de Sherbrooke et près d’une vingtaine de livres à caractère religieux entre 1912 et 1963. Il décède en 1969 à Iberville et il est inhumé dans le cimetière de Saint-Noël-Chabanel de cette localité.